પ્રથમ પ્રાકૃતિક $n$ સંખ્યાઓ માટે પ્રમાણિત વિચલન મેળવો
પ્રથમ પ્રાકૃતિક $n$ સંખ્યાઓ માટે પ્રમાણિત વિચલન મેળવો
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & \ldots & n \\ \hline x_{i}^{2} & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & \ldots & \ldots & n^{2} \\ \hline \end{array}$
Now, $\quad \Sigma x_{i}=1+2+3+4+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
and $\Sigma x_{i}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
$\therefore \quad \alpha=\sqrt{\frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n}-\left(\frac{\Sigma x_{i}}{n}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6 n}-\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4 n^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{(n+1)^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{2\left(2 n^{2}+3 n+1\right)-3\left(n^{2}+2 n+1\right)}{12}}$
$=\sqrt{\frac{4 n^{2}+6 n+2-3 n^{2}-6 n-3}{12}}=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$
Similar Questions
$100$ અવલોકનોનો સરવાળો અને તેમના વર્ગોનો સરવાળો અનુક્રમે $400$ અને $2475$ છે ત્યારબાદ માલૂમ પડ્યું કે ત્રણ અવલોકનો $3, 4$ અને $5$ ખોટા અવલોકનોનો છે જો ખોટા અવલોકનોને કાઢી નાખવામાં આવે તો બાકી રહેલા અવલોકનોનો વિચરણ કેટલું થાય ?
$100$ અવલોકનોનો સરવાળો અને તેમના વર્ગોનો સરવાળો અનુક્રમે $400$ અને $2475$ છે ત્યારબાદ માલૂમ પડ્યું કે ત્રણ અવલોકનો $3, 4$ અને $5$ ખોટા અવલોકનોનો છે જો ખોટા અવલોકનોને કાઢી નાખવામાં આવે તો બાકી રહેલા અવલોકનોનો વિચરણ કેટલું થાય ?
- [JEE MAIN 2017]
$ \bar x , M$ અને $\sigma^2$ એ $n$ અવલોકનો $x_1 , x_2,...,x_n$ અને $d_i\, = - x_i - a, i\, = 1, 2, .... , n$, જ્યાં $a$ એ કોઈ પણ સંખ્યા હોય તે માટે અનુક્રમે મધ્યક બહુલક અને વિચરણ છે
વિધાન $I$: $d_1, d_2,.....d_n$ નો વિચરણ $\sigma^2$ થાય
વિધાન $II$ : $d_1 , d_2, .... d_n$ નો મધ્યક અને બહુલક અનુક્રમે $-\bar x -a$ અને $- M - a$ છે
$ \bar x , M$ અને $\sigma^2$ એ $n$ અવલોકનો $x_1 , x_2,...,x_n$ અને $d_i\, = - x_i - a, i\, = 1, 2, .... , n$, જ્યાં $a$ એ કોઈ પણ સંખ્યા હોય તે માટે અનુક્રમે મધ્યક બહુલક અને વિચરણ છે
વિધાન $I$: $d_1, d_2,.....d_n$ નો વિચરણ $\sigma^2$ થાય
વિધાન $II$ : $d_1 , d_2, .... d_n$ નો મધ્યક અને બહુલક અનુક્રમે $-\bar x -a$ અને $- M - a$ છે
- [JEE MAIN 2014]
$20$ અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $10$ અને $2$ જણાયા છે. ફરીથી ચકાસતા, એવું માલુમ થાય છે કે એક અવલોકન $12$ ને બદલે ભૂલથી $8$ લેવામાં આવ્યું હતું તો સાચું પ્રમાણિત વિચલન ............ છે.
$20$ અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $10$ અને $2$ જણાયા છે. ફરીથી ચકાસતા, એવું માલુમ થાય છે કે એક અવલોકન $12$ ને બદલે ભૂલથી $8$ લેવામાં આવ્યું હતું તો સાચું પ્રમાણિત વિચલન ............ છે.
- [JEE MAIN 2024]
$3$ ખામી વાળી $12$ ચીજેના એક જથ્થામાથી યાદસ્છિક રીતે $5$ ચીજોનો એક નિદર્શ લેવામાં આવે છે. ધારોકે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ નિર્દશ ની ખામી વાળી ચીજોની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારોકે નિર્દશમાં ની ચીજો પુરવણીરહિત એક પછી એક લેવામાં આવે છે. જે $X$ નું વિચરણ $\frac{m}{n}$ હોય, તો જ્યાં ગુ.સા.આ. $(m,\left.n\right)=1$, તો $n-m=$ ..............
$3$ ખામી વાળી $12$ ચીજેના એક જથ્થામાથી યાદસ્છિક રીતે $5$ ચીજોનો એક નિદર્શ લેવામાં આવે છે. ધારોકે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ નિર્દશ ની ખામી વાળી ચીજોની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારોકે નિર્દશમાં ની ચીજો પુરવણીરહિત એક પછી એક લેવામાં આવે છે. જે $X$ નું વિચરણ $\frac{m}{n}$ હોય, તો જ્યાં ગુ.સા.આ. $(m,\left.n\right)=1$, તો $n-m=$ ..............
- [JEE MAIN 2024]
અવલોકનોનાં બે ગણના આંકડાઓ નીચે મુજબ આપેલ છે :
કદ
મધ્યક
વિચરણ
અવલોકન $I$
$10$
$2$
$2$
અવલોકન $II$
$n$
$3$
$1$
જો બંને અવલોકનોનાં સંયુક્ત ગણનો વિચરણ $\frac{17}{9}$ હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય ..... છે.
અવલોકનોનાં બે ગણના આંકડાઓ નીચે મુજબ આપેલ છે :
| કદ | મધ્યક | વિચરણ | |
| અવલોકન $I$ | $10$ | $2$ | $2$ |
| અવલોકન $II$ | $n$ | $3$ | $1$ |
જો બંને અવલોકનોનાં સંયુક્ત ગણનો વિચરણ $\frac{17}{9}$ હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય ..... છે.
- [JEE MAIN 2021]